(Unesp-SP) Em uma determinada região de floresta na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de 3 km², e a partir daí, durante um determinado período, a quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a área total desmatada era de
. Se a área total desmatada nessa região atingiu
nos
anos em que ocorreram desmatamentos, determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado diz que no primeiro ano a área desmatada foi de
,km^{2}) e, a partir daí, a quantidade desmatada a cada ano forma uma progressão geométrica de razão
. Precisamos encontrar
tal que a soma dessas áreas nos
anos seja
,km^{2}. Vamos usar a fórmula da soma de uma PG.
Passo 2
Seja
a sequência dos desmatamentos anuais. Temos
ou seja, no segundo ano
, no terceiro
, etc.
Passo 3
A soma dos
primeiros termos de uma PG de razão
é
Aqui
,
e
, então
Passo 4
Dividindo por
,
Passo 5
Como
, concluímos que