(Unesp-SP) Em uma determinada região de floresta na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de 3 km², e a partir daí, durante um determinado período, a quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a área total desmatada era de 3+2 cdot 3=9 km^2. Se a área total desmatada nessa região atingiu 381 km^2 nos n anos em que ocorreram desmatamentos, determine o valor de n.

Passo 1

O enunciado diz que no primeiro ano a área desmatada foi de 3,km^{2}) e, a partir daí, a quantidade desmatada a cada ano forma uma progressão geométrica de razão 2. Precisamos encontrar n tal que a soma dessas áreas nos n anos seja 381,km^{2}. Vamos usar a fórmula da soma de uma PG.

Passo 2

Seja ak a sequência dos desmatamentos anuais. Temos
a1 = 3, r = 2,
ou seja, no segundo ano a2 = 3cdot2, no terceiro a3 = 3cdot2^2, etc.

Passo 3

A soma dos n primeiros termos de uma PG de razão rneq1 é
Sn = a1 ,r^n-1r-1
Aqui Sn=381, a1=3 e r=2, então
381 = 3,2^n-12-1 Longrightarrow 381 = 3,(2^n-1)

Passo 4

Dividindo por 3,
2^n - 1 = 3813 = 127 Longrightarrow 2^n = 128

Passo 5

Como 128 = 2^7, concluímos que
n = 7

Resposta

n = 7

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