(Unesp-SP) Um fazendeiro plantou 3960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses. A plantação foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês foram plantadas x árvores, no mês seguinte ( x+r ) árvores, r>0, e assim sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 2160 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês foi:
a) 50
b) 75
c) 100
d) 150
e) 165

Passo 1

O enunciado diz que um total de 3960 árvores foi plantado em 24 meses, com plantio mensal em progressão aritmética de primeiro termo x e razão r>0. Ao fim de 15 meses, ainda faltavam 2160 árvores, ou seja, já haviam sido plantadas 3960-2160. Vamos usar a fórmula da soma de termos de PA para montar equações que permitam achar x.

Passo 2

Calculamos quantas árvores foram plantadas nos primeiros 15 meses:
plantadas em 15 meses = 3960 - 2160 = 1800

Passo 3

A soma dos primeiros 15 termos de uma PA de primeiro termo x e razão r é
S15 = 152l(2x + (15-1)rr) = 152(2x+14r)
Como S15=1800, temos
152(2x+14r)=1800 Longrightarrow 2x+14r = 1800cdot215=240 Longrightarrow x+7r=120

Passo 4

A soma total em 24 meses é 3960, e vale
S24 = 242l(2x+(24-1)rr) = 12(2x+23r)
Como S24=3960, segue
12(2x+23r)=3960 Longrightarrow 2x+23r = 396012=330

Passo 5

Resolvendo o sistema
x + 7r = 120, 2x +23r = 330,
multiplicamos a primeira por 2 e subtraímos da segunda:
(2x+23r)-(2x+14r)=330-240 Longrightarrow 9r=90 Longrightarrow r=10
Substituindo em x+7r=120:
x+70=120 Longrightarrow x=50

Resposta

O número de árvores plantadas no primeiro mês foi 50, ou seja, alternativa (a).

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