(Unicamp-10) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um periodo de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?

Passo 1

O site A tem inicialmente 150 participantes e atrai novos integrantes segundo uma progressão geométrica de primeiro termo 100 e razão 2. Precisamos calcular o total de novos membros em 6 semanas (soma dos 6 primeiros termos dessa PG) e somar ao valor inicial.
O site B tem inicialmente 2200 participantes e atrai novos integrantes segundo uma progressão aritmética de primeiro termo 100 e diferença comum 100. Devemos achar o menor n tal que, após n semanas, o total de participantes ultrapasse 10000.

Passo 2

Para o site A, os novos membros formam a PG cujo k-ésimo termo é
a_k = 100 \cdot 2^{\,k-1}.
A soma dos 6 primeiros termos vale
S_6 = 100\,\frac{2^6 - 1}{2 - 1} = 100\,(64 - 1) = 100 \times 63 = 6300.

Passo 3

O número total de associados do site A após 6 semanas é
150 + S_6 = 150 + 6300 = 6450.

Passo 4

Para o site B, os novos membros formam a PA cujo k-ésimo termo é
b_k = 100k,
então a soma dos primeiros n termos é
S_n = 100 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 50\,n(n+1).
O total de participantes após n semanas é
2200 + S_n = 2200 + 50\,n(n+1).
Queremos
2200 + 50\,n(n+1)\ge 10000 \quad\Longrightarrow\quad n^2 + n - 156 \ge 0.
A solução positiva de n^2 + n - 156 = 0 é
n = \frac{-1 + \sqrt{1 + 624}}{2} = \frac{-1 + 25}{2} = 12.
Logo, em 12 semanas atingem exatamente 10000 membros.

Resposta

a) 6300 novos membros em 6 semanas; 6450 associados ao final de 6 semanas.
b) Serão necessárias 12 semanas para o site B chegar a 10000 membros.

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