(UE-CE) Se i é a unidade imaginária ( i^2=-1 ), a forma trigonométrica do número complexo z=31-i-i1+i, considerando o argumento principal, é:
a) raiz2(cos pi4+i cdot sen pi4)
b) raiz2(cos 3 pi4+i cdot sen 3 pi4)
c) raiz3(cos pi4+i cdot sen pi4)
d) raiz3(cos 3 pi4+i cdot sen 3 pi4)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a forma trigonométrica do número complexo
z = 31 - i - i1 + i
ou seja, calcular primeiro a parte algébrica de z e depois escrever z como
rl(costheta + i,senthetar)
usando o argumento principal thetain(-pi,pi]. Vamos precisar racionalizar denominadores e depois passar a forma a+bi para a forma polar.

Passo 2

Racionalizando o primeiro quociente:
31 - i = 3(1 + i)(1 - i)(1 + i) = 3(1 + i)1 - i^2 = 3(1 + i)1 - (-1) = 3(1 + i)2 = 32 + 32i

Passo 3

Racionalizando o segundo quociente:
i1 + i = i(1 - i)(1 + i)(1 - i) = i - i^21 - i^2 = i + 12 = 12 + 12i

Passo 4

Subtraindo os resultados:
z = l(tfrac32 + tfrac32ir) - l(tfrac12 + tfrac12ir) = l(tfrac32 - tfrac12r) + l(tfrac32 - tfrac12r)i = 1 + i

Passo 5

Para z=1+i, o módulo é
r = raiz1^2 + 1^2 = raiz2,
e o argumento principal theta satisfaz
tantheta = 11 = 1,
no primeiro quadrante, logo
theta = pi4

Resposta

raiz2l(cos tfracpi4 + i,sen tfracpi4r),
ou seja, alternativa (a).

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