(Unifesp-SP) Numa classe há x meninas e y meninos, com x, y >= 4. Se duas meninas se retirarem da classe, o número de meninos na classe ficará igual ao dobro do número de meninas.
a) Dê a expressão do número de meninos na classe em função do número de meninas e, sabendo que não há mais que 14 meninas na classe, determine quantos meninos, no máximo, pode haver na classe.
b) A direção do colégio deseja formar duas comissões entre os alunos da classe, uma com exatamente 3 meninas e outra com exatamente 2 meninos. Sabendo-se que, nessa classe, o número de comissões que podem ser formadas com 3 meninas é igual ao número de comissões que podem ser formadas com dois meninos, determine o número de alunos da classe.

Passo 1

O enunciado diz que numa classe há (x) meninas e (y) meninos, com x,y>=4. Se duas meninas saem, restam x-2 meninas, e então o número de meninos fica o dobro do número de meninas. Na parte (a) queremos achar y em função de x e, sabendo que x<=14, maximizar y. Na parte (b) usamos o resultado de (a) e a condição de que o número de comissões de 3 meninas é igual ao número de comissões de 2 meninos, ou seja,
binomx3 ;=;binomy2,
e daí determinar o total de alunos x+y.

Passo 2

Quando duas meninas saem, passam a ser x-2 meninas e ainda há y meninos, e o enunciado afirma
y ;=;2,(x-2)
Portanto,
y = 2x - 4

Passo 3

Como não há mais que 14 meninas, temos 4<= x<=14. A função y(x)=2x-4 cresce em x, logo o máximo de y ocorre em x=14:
ymax = 2cdot14 - 4 = 28 -4 = 24

Passo 4

Para a parte (b), impomos
binomx3 = binomy2,
sabendo que y=2x-4. Escrevendo em forma polinomial:
x(x-1)(x-2)6 ;=;(2x-4)(2x-5)2

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 6 e simplificando:
x(x-1)(x-2) = 3,(2x-4)(2x-5)
Expandindo,
x^3 - 3x^2 +2x = 3,(4x^2 -18x +20) =12x^2 -54x +60,
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x^3 -15x^2 +56x -60 = 0
As raízes inteiras possíveis são x=2,3,10; mas apenas x>=4 vale, então x=10.

Passo 6

Com x=10 obtemos
y = 2cdot10 -4 = 16
O total de alunos é
x+y = 10 + 16 = 26

Resposta

a) ;y=2x-4. Como x<=14, o número máximo de meninos é 24.
b) O número total de alunos da classe é 26.

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