(Unifra-2008) A expressão \frac{6 x^{2}-x-2}{2 x^{2}+3 x+1}, com x \in-1 / 2, após ser simplificada, é equivalente à expressão
a) \frac{3 x-2}{x-1}
b) \frac{3 x-2}{x+1}
c) \frac{3 x+2}{x+1}
d) \frac{3 x+2}{2 x+1}
e) \frac{3 x-2}{2 x-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{6x^{2}-x-2}{2x^{2}+3x+1}
sabendo que x\neq -\tfrac12. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios quadráticos e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Fatoramos o numerador 6x^{2}-x-2. Primeiro reescrevemos o termo em x:
6x^{2}-x-2 = 6x^{2}+3x-4x-2.
Agora agrupamos:
6x^{2}+3x-4x-2 = 3x(2x+1)-2(2x+1) = (2x+1)(3x-2).

Passo 3

Fatoramos o denominador 2x^{2}+3x+1. Fazemos decomposição similar:
2x^{2}+3x+1 = 2x^{2}+2x + x+1 = 2x(x+1)+1(x+1) = (2x+1)(x+1).

Passo 4

Substituindo na fração original e cancelando o fator comum (2x+1), obtemos
\frac{6x^{2}-x-2}{2x^{2}+3x+1} = \frac{(2x+1)(3x-2)}{(2x+1)(x+1)} = \frac{3x-2}{x+1},
válido para x\neq -\tfrac12.

Resposta

b) \displaystyle \frac{3x-2}{x+1}

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