(UEMS-2003) Quais valores bec devem satisfazer para que a função algébrica \frac{x^{2}+b x+c}{2 x^{2}+1} tenha o mesmo valor numérico para todo x \in \Re.
a) b=2 e c=-1 \quad b=1 e c=0
b) b=0 e c=\frac{1}{2} \quad b=-1 e c=2
c) b=-2 e c=2

Passo 1

O enunciado pede que a função
\frac{x^{2}+b x+c}{2 x^{2}+1}
tenha o mesmo valor para todo x\in\mathbb{R}. Isso significa que essa fração deve ser constante, digamos igual a k, independentemente de x. Para isso, o polinômio do numerador tem de ser exatamente k vezes o polinômio do denominador.

Passo 2

Supondo
\frac{x^{2}+b x+c}{2 x^{2}+1}=k,
temos
x^{2}+b x+c = k\,(2x^{2}+1).
Comparando coeficientes em x^{2}, x e termo constante:
Coeficiente de x^{2}:
1 = 2k \quad\Longrightarrow\quad k=\tfrac12.
Coeficiente de x:
b = 0.
Termo constante:
c = k = \tfrac12.

Resposta

b=0 e c=\tfrac12.

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