(University of South Carolina-93) Suponha que x e y são inteiros tais que y>x>1 e y^2-x^12=187. Então um valor possível de x.y é:
a) 30
b) 36
c) 40
d) 42
e) 54

Passo 1

O enunciado pede que encontremos inteiros x e y tais que y>x>1 e
y^2-x^2=187
e, a partir disso, calculemos o produto x,y. O conteúdo principal aqui é a fatoração de diferença de quadrados.

Passo 2

Aplicamos a identidade de diferença de quadrados:
y^2-x^2=(y-x)(y+x)
Logo, devemos ter
(y-x)(y+x)=187

Passo 3

Como x e y são inteiros positivos e y>x, tanto y-x quanto y+x são divisores positivos de 187. Fatoramos 187:
187=11times17
As únicas opções de pares (y-x,y+x) são (1,187) ou (11,17).
  • Se y-x=1 e y+x=187, então
    y=1+1872=94, x=187-12=93,
    mas nesse caso x,y=94cdot93 não está entre as opções dadas.
  • Se y-x=11 e y+x=17, então
    y=11+172=14, x=17-112=3,
    o que satisfaz y>x>1.

Passo 4

Com x=3 e y=14, o produto é
x,y = 3 times 14 = 42

Resposta

42

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