(University of South Carolina-93) Suponha que e y são inteiros tais que y>x>1 e y^2-x^12=187. Então um valor possível de x.y é:
a) 30
b) 36
c) 40
d) 42
e) 54
Passo 1
O enunciado pede que encontremos inteiros x e y tais que y>x>1 e
y^2-x^2=187
e, a partir disso, calculemos o produto x,y. O conteúdo principal aqui é a fatoração de diferença de quadrados.
Passo 2
Aplicamos a identidade de diferença de quadrados:
y^2-x^2=(y-x)(y+x)
Logo, devemos ter
(y-x)(y+x)=187
Passo 3
Como x e y são inteiros positivos e y>x, tanto y-x quanto y+x são divisores positivos de 187. Fatoramos 187:
187=11times17
As únicas opções de pares (y-x,y+x) são (1,187) ou (11,17).
Se y-x=1 e y+x=187, então
y=1+1872=94, x=187-12=93,
mas nesse caso x,y=94cdot93 não está entre as opções dadas.
Se y-x=11 e y+x=17, então
y=11+172=14, x=17-112=3,
o que satisfaz y>x>1.
Passo 4
Com x=3 e y=14, o produto é
x,y = 3 times 14 = 42
Resposta
42
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da Matemática - Vol 1 - 3ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 30