Usando o algoritmo de Briot-Ruffini, mostre que as seguintes divisões são exatas, isto é, o resto é nulo. Dê o quociente.
x^4-a^4 por x-a.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
P(x)=x^4-a^4
pelo binômio (x - a) usando o algoritmo de Briot–Ruffini (divisão sintética). Vamos usar o Teorema do Resto, que diz que ao dividir por (x-c) o resto é P(c), e o algoritmo de Briot–Ruffini para obter o quociente.

Passo 2

Extraímos os coeficientes de P(x) em ordem decrescente de grau:
1,;0,;0,;0,;-a^4
O valor de c na divisão sintética por (x - c) é c=a. Montamos a tabela inicial:
c|ccccc a & 1 & 0 & 0 & 0 & -a^4hline & & & & &

Passo 3

Aplicamos o algoritmo:
  1. Rebaixa o primeiro coeficiente: 1longrightarrow
  2. Multiplica por a e soma ao próximo coeficiente: 1cdot a = a, 0 + a = a
  3. Repete para cada coluna: acdot a = a^2, 0 + a^2=a^2,
a^2cdot a = a^3, 0 + a^3=a^3,
a^3cdot a = a^4, -a^4 + a^4=0
A tabela completa fica
c|ccccc a & 1 & 0 & 0 & 0 & -a^4hline & & a & a^2 & a^3 & a^4hline & 1 & a & a^2 & a^3 & 0

Passo 4

Como o último valor (o resto) é 0, a divisão é exata. Os coeficientes do quociente, na linha de baixo (exceto o resto), correspondem aos termos de
x^3,;x^2,;x,;e constante

Resposta

O quociente da divisão de x^4-a^4 por (x - a) é
x^3 + a,x^2 + a^2,x + a^3

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