Exercício 7-17 Fatore:
x^12+1.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio x^12+1. Para isso, vamos usar a fórmula de soma de cubos, pois podemos escrever
x^12+1 = (x^4)^3 + 1^3

Passo 2

Aplique a identidade de soma de cubos
a^3 + b^3 = (a + b)l(a^2 - a b + b^2r)
com a = x^4 e b = 1. Então
x^12+1 = (x^4 + 1)l((x^4)^2 - x^4cdot1 + 1^2r) = (x^4 + 1)(x^8 - x^4 + 1)

Passo 3

Observamos que os fatores x^4+1 e x^8 - x^4 + 1 são irreduzíveis em Q[x], ou seja, não podem ser fatorados com coeficientes inteiros.

Resposta

x^12 + 1 = (x^4 + 1)(x^8 - x^4 + 1)

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