Usando o algoritmo de Briot-Ruffini, mostre que as seguintes divisões são exatas, isto é, o resto é nulo. Dê o quociente.
x^n-a^n por x-a, n inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio x^n-a^n por x - a usando o algoritmo de Briot-Ruffini (divisão sintética) e mostrar que o resto é zero. O conteúdo é divisão de polinômios e usaremos a raiz x=a para a divisão sintética.

Passo 2

Listamos os coeficientes de x^n-a^n em ordem decrescente de grau. Como não há termos intermediários de x^n-1,x^n-2,dots,x, os coeficientes são
1,;0,;0,;dots,;0,;-a^n
e usamos a como “valor” para a divisão sintética.

Passo 3

Aplicando Briot-Ruffini, chamamos b0,b1,dots,bn às entradas da linha de baixo. Fazemos:
b0=1 (trazemos o primeiro coeficiente).
Para k=1,2,dots,n definimos
bk= l(coeficiente original na posição kr);+;a;bk-1 çã
– Para 1<= k<= n-1 o coeficiente original é zero, logo
bk=0 + a,bk-1
Isso gera a sequência
b1=acdot b0=a, b2=acdot b1=a^2,;dots,; bn-1=acdot bn-2=a^,n-1

Passo 4

No passo k=n usamos o coeficiente original -a^n:
bn=-a^n+a,bn-1 =-a^n+acdot a^,n-1 =-a^n+a^n =0
Portanto o resto da divisão é bn=0, ou seja, a divisão é exata.

Passo 5

Os coeficientes do quociente são b0,b1,dots,bn-1, correspondendo aos termos de grau n-1,n-2,dots,0. Assim o quociente é
x^,n-1+a,x^,n-2+a^2x^,n-3+cdots+a^,n-2x+a^,n-1

Resposta

O quociente é
x^,n-1+a,x^,n-2+a^2x^,n-3+cdots+a^,n-2x+a^,n-1
e o resto é nulo.

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