Usando o algoritmo de Briot-Ruffini, mostre que as seguintes divisões são exatas, isto é, o resto é nulo. Dê o quociente.
x^5-a^5 por x-a.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio P(x)=x^5 - a^5 por x - a usando o algoritmo de Briot-Ruffini (divisão sintética) e mostrar que o resto é zero. Vamos usar o Teorema do Resto (que diz que o resto de dividir P(x) por x-a é P(a)) e, na prática, executar a sequência de multiplicações e somas do método sintético.

Passo 2

Para aplicar Briot-Ruffini, tomamos a raiz a e escrevemos os coeficientes de P(x) em ordem decrescente de grau:
1,;0,;0,;0,;0,;-a^5
Trazemos o primeiro coeficiente 1 para baixo. A cada passo multiplicamos o valor recém-obtido por a e somamos ao próximo coeficiente:
&1times a = a, 0+a = a, &atimes a = a^2, 0+a^2 = a^2, &a^2times a = a^3, 0+a^3 = a^3, &a^3times a = a^4, 0+a^4 = a^4, &a^4times a = a^5, -a^5 + a^5 = 0
O último resultado 0 é o resto, o que confirma que a divisão é exata.

Passo 3

Os coeficientes obtidos antes do resto formam o quociente de grau 4, na ordem:
1,;a,;a^2,;a^3,;a^4
Portanto
Q(x)=x^4 + a,x^3 + a^2,x^2 + a^3,x + a^4

Resposta

O quociente da divisão de x^5 - a^5 por x - a é
x^4 + a x^3 + a^2 x^2 + a^3 x + a^4

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