Usando alguma fórmula de arco duplo, determine para que valor de x in[0, pi], a função f(x)=sen(x) cos (x) é máxima. Qual o valor de f nesse ponto?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em [0,pi], o ponto onde
f(x)=sin(x)cos(x)
atinge valor máximo, usando fórmula de ângulo duplo.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo
sin(2x)=2sin(x)cos(x),
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f(x)=sin(x)cos(x)=tfrac12sin(2x)

Passo 3

Como sin(2x)<=1 para todo x, segue
f(x)=tfrac12sin(2x)<=tfrac12,
e a igualdade ocorre quando sin(2x)=1, isto é,
2x=tfracpi2+2pi k, kinZ

Passo 4

Da condição anterior temos
x=tfracpi4+pi k
No intervalo [0,pi] o único k que cabe é k=0, resultando em
x=tfracpi4

Resposta

x=tfracpi4 e fl(tfracpi4r)=tfrac12.

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