Usando derivação implícita, calcule y^prime :
e^-2 x-y=5+ln (x)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^-2x-y=5+ln(x)
e pede ,y'=dydx usando derivação implícita. Vamos precisar da regra da cadeia para derivar e^algo e da derivada de ln(x).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
Do lado esquerdo, aplicamos regra da cadeia em e^-2x-y:
ddxe^-2x-y = e^-2x-y,ddx(-2x-y) = e^-2x-y(-2 - y')
Do lado direito,
ddxl(5+ln(x)r) = 0 + 1x = 1x

Passo 3

Igualando as derivadas temos
e^-2x-y(-2 - y') = 1x

Passo 4

Isolando y':
-2 - y' = 1x,e^2x+y, - y' = 1x,e^2x+y + 2,
y' = -2 - 1x,e^2x+y

Passo 5

Para eliminar y, note que da equação original e^-2x-y=5+ln(x) segue
e^2x+y = 15+ln(x)
Então
y' = -2 - 1xcdot15+ln(x) = -2 - 1x,(5+ln(x))

Resposta

y' = -2 ;-; 1x,(5+ln(x))

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