Usando o método da bisseção, determine um zero de p(x)=x^4-3 x^3+2 x^2-x+1 que pertença ao intervalo [2,4].

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da bisseção e encontrar um zero da função
p(x)=x^4-3x^3+2x^2-x+1
no intervalo [2,4]. O conteúdo é o teorema do valor intermédio e o algoritmo da bisseção, que consiste em:
– verificar que p(2) e p(4) têm sinais opostos;
– iterativamente dividir o intervalo ao meio e escolher o subintervalo onde ocorre mudança de sinal até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Calculemos os valores nos extremos:
p(2)=2^4-3cdot2^3+2cdot2^2-2+1 =16-24+8-2+1=-1,
p(4)=4^4-3cdot4^3+2cdot4^2-4+1 =256-192+32-4+1=93
Como p(2)times p(4)<0, existe pelo menos uma raiz em [2,4].

Passo 3

Fixemos uma tolerância varepsilon=10^-2. O número mínimo de iterações n para que o tamanho do intervalo seja menor que varepsilon é
n>= log2!l(tfrac4-210^-2r) =log2(200)approx7,64,
logo escolhemos n=8.

Passo 4

Façamos as três primeiras divisões do intervalo:
1. c1=tfrac2+42=3. Calculamos
p(3)=3^4-3cdot3^3+2cdot3^2-3+1 =81-81+18-3+1=16>0,
logo o zero está em [2,3].
2. c2=tfrac2+32=2,5.
p(2,5)=39,0625-46,875+12,5-2,5+1=3,1875>0,
então o zero está em [2,2,5].
3. c3=tfrac2+2,52=2,25.
p(2,25)approx25,6289-34,1719+10,125-2,25+1approx0,3319>0,
então o zero está em [2,2,25].

Passo 5

Continuamos até a 8ª iteração para varepsilon=10^-2:
4. c4=2,125, p(c4)approx-0,4054 Rightarrow novo intervalo [2,125,2,25].
5. c5=2,1875, p(c5)approx0,0493 Rightarrow [2,125,2,1875].
6. c6=2,15625, p(c6)approx-0,1916 Rightarrow [2,15625,2,1875].
7. c7=2,171875, p(c7)approx-0,2069 Rightarrow [2,171875,2,1875].
8. c8=2,1796875, p(c8)approx-0,0751 Rightarrow [2,1796875,2,1875].
Após 8 iterações o comprimento do intervalo é
2^-8times(4-2)=tfrac2256=0,0078<10^-2,
e tomamos como aproximação do zero o ponto médio c8.

Passo 6

Portanto, um zero de p(x) em [2,4] aproximado pelo método da bisseção com varepsilon=10^-2 é
xapprox2,1797

Resposta

xapprox2,1797 (aproximado, com erro máximo menor que 10^-2).

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