Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^3+7 x^2+20 x+32=0, sabendo que x=-4 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da equação
x^3+7x^2+20x+32=0
sabendo que -4 é uma raiz. O conteúdo usado será fatoração de polinômios (divisão por fator conhecido) e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Como x=-4 é raiz, sabemos que x+4 é fator. Vamos dividir x^3+7x^2+20x+32 por x+4 usando divisão sintética:
Coeficientes: 1,;7,;20,;32
Raiz sintética: -4
Traga o 1 para baixo e multiplique por -4:
  1. Começa com 1.
  2. -4times1=-4. Soma em 7: 7+(-4)=3.
  3. -4times3=-12. Soma em 20: 20+(-12)=8.
  4. -4times8=-32. Soma em 32: 32+(-32)=0.
O resto é zero (como era de esperar) e o quociente tem coeficientes 1,,3,,8, ou seja,
x^3+7x^2+20x+32 = (x+4)(x^2+3x+8)

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
x^2+3x+8=0
pelo teorema de Bhaskara. O discriminante é
De<a = 3^2-4cdot1cdot8 = 9-32 = -23
Como De<a<0, as raízes são complexas:
x = -3 pm raiz-232 = -3 pm iraiz232

Passo 4

Concluímos que as três raízes da equação são -4 e os dois conjugados complexos obtidos acima, e a fatoração completa é
x^3+7x^2+20x+32 = (x+4)l(x^2+3x+8r)

Resposta

As raízes são
x = -4, x = -3 + iraiz232, x = -3 - iraiz232
A forma fatorada do polinômio é
x^3+7x^2+20x+32 = (x+4)(x^2+3x+8)

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