Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
2 x^3-10 x^2-13 x-105=0, sabendo que x=7 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede as raízes da equação
2x^3-10x^2-13x-105=0
e informa que x=7 é uma raiz. Portanto (x-7) é fator do polinômio. Para encontrar os outros fatores e raízes, usaremos divisão sintética para extrair (x-7) e depois aplicaremos a fórmula de Bhaskara no quadrático resultante.

Passo 2

Dividindo sinteticamente o polinômio 2x^3-10x^2-13x-105 por x-7, tomamos os coeficientes 2,,-10,,-13,,-105 e o valor 7:
traímos 2.
7times2=14, somamos a -10 e obtemos 4.
7times4=28, somamos a -13 e obtemos 15.
7times15=105, somamos a -105 e obtemos 0.
Logo, o quociente é
2x^2+4x+15
e o resto é zero.

Passo 3

No fator quadrático 2x^2+4x+15, aplicamos Bhaskara. Aqui a=2, b=4, c=15.
O discriminante é
De<a = b^2-4ac = 4^2 - 4cdot2cdot15 = 16 - 120 = -104
Como De<a<0, as raízes são complexas:
x = -b pm raizDe<a2a = -4 pm raiz-1042cdot2 = -4 pm 2,iraiz264 = -1 pm iraiz262

Passo 4

As raízes da equação são
x=7, x=-1+iraiz262, x=-1-iraiz262
Em R, a fatoração do polinômio é
2x^3-10x^2-13x-105 = (x-7),(2x^2+4x+15)
Sobre C, escrevemos a fatoração completa como
2x^3-10x^2-13x-105 = (x-7)l(x-(-1+tfraciraiz262)r)l(x-(-1-tfraciraiz262)r)

Resposta

As raízes são
x = 7, x = -1+iraiz262, x = -1-iraiz262,
e a fatoração em R é
2x^3 -10x^2 -13x -105 = (x-7)(2x^2+4x+15)

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