Fazendo a mudança de variável w=x^2, determine os zeros das funções dadas e as escreva na forma fatorada.
p(x)=x^4-32 x^2-144

Passo 1

O enunciado pede para, usando a mudança de variável w=x^2, determinar os zeros de
p(x)=x^4-32x^2-144
e escrever p(x) na forma fatorada. O conteúdo é fatoração de polinômio biquadrático via substituição.

Passo 2

Fazendo w = x^2, reescrevemos
p(x)=x^4-32x^2-144
como um polinômio quadrático em w:
q(w)=w^2-32w-144

Passo 3

Para achar os zeros de q(w), usamos a fórmula de Bhaskara:
w = 32 pm raiz(-32)^2 - 4cdot1cdot(-144)2cdot1 = 32 pm raiz1024 +5762 = 32 pm raiz16002 = 32 pm 402
Logo
w1 = 32+402=36, w2 = 32-402=-4

Passo 4

Voltando à variável x, resolvemos
x^2=w1=36 Rightarrow x=pm6,
e
x^2=w2=-4 Rightarrow x=pm2,i
Assim, os zeros de p(x) são
;x=6,;-6,;2,i,;-2,i

Passo 5

Sabendo os valores de w, podemos fatorar q(w) como
q(w) = (w-36)(w+4)
Substituindo w=x^2 de volta, obtemos a fatoração de p(x):
p(x)=l(x^2-36r)l(x^2+4r)
Podemos ainda escrever totalmente em fatores lineares (sobre C):
p(x)=(x-6)(x+6)(x-2,i)(x+2,i)

Resposta

Os zeros são
x=6,;-6,;2,i,;-2,i
e a forma fatorada sobre os reais é
p(x)=(x^2-36)(x^2+4)
Em fatores lineares sobre C:
p(x)=(x-6)(x+6)(x-2,i)(x+2,i)

Exercícios de Livros Relacionados