Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^3-3 x^2+9 x-27=0, sabendo que x=3 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes da equação
x^3-3x^2+9x-27=0
sabendo que x=3 é uma raiz. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios e resolução de equações quadráticas. Vamos usar divisão de polinômio para extrair o fator (x-3) e, em seguida, resolver o fator quadrático resultante.

Passo 2

Como x=3 é raiz, x-3 é fator do polinômio. Dividimos
x^3-3x^2+9x-27
por (x-3) (p. ex. via divisão sintética):
coeficientes: 1,;-3,;9,;-27 com divisor 3
— trazemos 1
— multiplicamos 1cdot3=3, somamos a -3 e obtemos 0
— multiplicamos 0cdot3=0, somamos a 9 e obtemos 9
— multiplicamos 9cdot3=27, somamos a -27 e obtemos 0
O resto é zero e o quociente é o polinômio
x^2+0x+9 = x^2+9

Passo 3

Logo obtemos a fatoração
x^3-3x^2+9x-27 = (x-3)(x^2+9)

Passo 4

Para achar as demais raízes, resolvemos
x^2+9=0
x^2=-9
x=pmraiz-9=pm3i

Passo 5

As raízes da equação são
x=3, x=3i, x=-3i
e a forma fatorada do polinômio é
boxed(x-3)(x^2+9)
— ou, em fatores lineares sobre C,
(x-3)(x-3i)(x+3i)

Resposta

As raízes são 3, 3i e -3i.
A forma fatorada é (x-3)(x^2+9) (ou (x-3)(x-3i)(x+3i) sobre C).

Exercícios de Livros Relacionados