Sem usar calculadora, mas apenas uma tabela com o seno, o cosseno e a tangente de theta inpi / 6, pi / 4, pi / 3, determine os valores abaixo.
a) sec (pi / 3)
b) tan (5 pi / 6)
c) csc (7 pi / 6)
d) cot (2 pi / 3)
e) csc (pi / 6)
f) cot (5 pi / 4)
g) tan (7 pi / 4)
h) sec (11 pi / 6)

Passo 1

O enunciado pede para calcular valores de funções recíprocas de ângulos usuais (múltiplos de pi/6 ou pi/4), sem usar calculadora, apenas a tabela de sin, cos e tan para thetainpi/6,pi/4,pi/3. O conteúdo é trigonometria básica: funções recíprocas e análise de sinal em cada quadrante.

Passo 2

As definições das funções recíprocas são
sectheta=1costheta, csctheta=1sintheta, cottheta=1tantheta

Passo 3

Tabela dos valores em ângulos básicos:
sin(pi/6)=tfrac12,;cos(pi/6)=tfracraiz32,;tan(pi/6)=tfracraiz33,
sin(pi/4)=tfracraiz22,;cos(pi/4)=tfracraiz22,;tan(pi/4)=1,
sin(pi/3)=tfracraiz32,;cos(pi/3)=tfrac12,;tan(pi/3)=raiz3

Passo 4

Regras de sinal por quadrante:
  • I ( 0<theta<tfracpi2): sin>0,;cos>0,;tan>0.
  • II ( tfracpi2<theta<pi): sin>0,;cos<0,;tan<0.
  • III ( pi<theta<tfrac3pi2): sin<0,;cos<0,;tan>0.
  • IV ( tfrac3pi2<theta<2pi): sin<0,;cos>0,;tan<0.

Passo 5

Calcular sec(pi/3) e sec(11pi/6).
sec(pi/3)=1/cos(pi/3)=1/(tfrac12)=2
cos(11pi/6) tem referência pi/6 em IV, cos>0, logo cos(11pi/6)=tfracraiz32 e
sec(11pi/6)=1tfracraiz32=2raiz3=2raiz33

Passo 6

Calcular tan(5pi/6) e tan(7pi/4).
Para 5pi/6 (ref. pi/6 em II): tan(pi/6)=tfracraiz33 e em II tan<0, então
tan(5pi/6)=-tfracraiz33
Para 7pi/4 (ref. pi/4 em IV): tan(pi/4)=1 e em IV tan<0, então
tan(7pi/4)=-1

Passo 7

Calcular csc(7pi/6) e csc(pi/6).
Para 7pi/6 (ref. pi/6 em III): sin(pi/6)=tfrac12 e em III sin<0, logo sin(7pi/6)=-tfrac12 e
csc(7pi/6)=1-tfrac12=-2
Para pi/6: sin(pi/6)=tfrac12, então
csc(pi/6)=1/(tfrac12)=2

Passo 8

Calcular cot(2pi/3) e cot(5pi/4).
Para 2pi/3 (ref. pi/3 em II): tan(pi/3)=raiz3 e em II tan<0, logo tan(2pi/3)=-raiz3 e
cot(2pi/3)=1-raiz3=-raiz33
Para 5pi/4 (ref. pi/4 em III): tan(pi/4)=1 e em III tan>0, logo tan(5pi/4)=1 e
cot(5pi/4)=1

Resposta

a) sec(pi/3)=2
b) tan(5pi/6)=-tfracraiz33
c) csc(7pi/6)=-2
d) cot(2pi/3)=-tfracraiz33
e) csc(pi/6)=2
f) cot(5pi/4)=1
g) tan(7pi/4)=-1
h) sec(11pi/6)=tfrac2raiz33

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