Sem usar calculadora (ou seja, esboçando triângulos), determine os valores exatos das expressões a seguir.
tan (arccos (15))

Passo 1

O enunciado pede o valor exato de tan(arccos(1/5)) sem usar calculadora, fazendo um esboço de triângulo. Trata-se de ligar a função trigonométrica inversa ao cosseno com as definições de seno e tangente num triângulo retângulo.

Passo 2

Defina theta = arccos(1/5), então costheta = 1/5. Num triângulo retângulo com hipotenusa 5 e cateto adjacente 1, o cateto oposto sai da identidade pitagórica:
sintheta = raiz1 - cos^2theta = raiz1 - 125 = raiz2425 = 2raiz65

Passo 3

A tangente é a razão entre seno e cosseno. Logo,
tantheta = sinthetacostheta = 2raiz6515 = 2raiz6

Resposta

2raiz6

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