USC - Qual é o menor inteiro positivo
, sabendo que 31 divide
?
a) 23
b) 30
c) 31
d) 68
e) 88
a) 23
b) 30
c) 31
d) 68
e) 88
Passo 1
O problema pede o menor inteiro positivo
tal que
O conteúdo é aritmética modular com exponenciação e resolução de congruências. Vamos usar o fato de que, em
, a ordem de
é um divisor de
, e depois resolver um sistema usando classes modulares.
Passo 2
Primeiro a gente acha a ordem de
módulo
. Pelos divisores de
testamos:
e
Logo a ordem de
em
é
, e por isso
Passo 3
Agora analisamos as três classes de
mod
:
Caso
.
Então , e a congruência vira
Então
Como pedimos também
, verificamos que
, logo é consistente. Os
dessa classe são
, e o menor positivo é
.
Passo 4
Verificamos rapidamente os outros casos para confirmar que não há solução menor:
-
Se
então e mas, conflito com . -
Se
então e mas, conflito com .
Logo a única solução menor que 31 é
.
Resposta
30