USC - Qual é o menor valor de n para que o produto
(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1) times cdots times(n^2-1)
seja um quadrado perfeito?

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro n>=2 tal que o produto
(2^2-1)(3^2-1)cdots(n^2-1)
seja um quadrado perfeito. Vamos usar fatoração de diferença de quadrados e depois reorganizar o produto em termos de fatoriais para identificar a condição de quadrado perfeito.

Passo 2

Começamos por notar que, para cada k>=2,
k^2-1=(k-1)(k+1)
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prodk=2^nl(k^2-1r) =prodk=2^n (k-1);times;prodk=2^n (k+1)

Passo 3

Nos dois produtos do lado direito reindexamos:
prodk=2^n (k-1) =prodj=1^n-1j=(n-1)!,
prodk=2^n (k+1) =prodm=3^n+1m =(n+1)!2
Portanto
prodk=2^nl(k^2-1r) =(n-1)!;times;(n+1)!2

Passo 4

Escrevendo (n+1)!=(n+1),n,(n-1)!, obtemos
prodk=2^nl(k^2-1r) =(n-1)!times(n+1),n,(n-1)!2 =l((n-1)!r)^2;times;n(n+1)2
Como l((n-1)!r)^2 já é um quadrado perfeito, o produto total será quadrado perfeito exatamente quando
n(n+1)2
for um quadrado perfeito.

Passo 5

O termo n(n+1)2 é o n-ésimo número triangular Tn. Queremos o menor n>=2 tal que
Tn=n(n+1)2=x^2
para algum inteiro x. Testando valores:
T2=3,;T3=6,;T4=10,;T5=15,;T6=21,;T7=28,;T8=36=6^2
O primeiro n>=2 que funciona é n=8.

Resposta

8

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