USC - Se e b digitos =overbrace666 ldots 666^2003, qual é o 2.004o digitos dígito (a partir da direita) que aparece no produto a times b ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 7
e) 8
Passo 1
O enunciado dá a=underbrace333ldots3332003 dígitosí e b=underbrace666ldots6662003 dígitosí
e pede o dígito de ordem 2004 (a partir da direita) em atimes b.
O conteúdo usado será representação por potências de 10, manipulação algébrica e divisão por 9 via algoritmo de resto.
Passo 2
Repare que
a=10^2003-13, b=2,a
pois 2times333ldots333=666ldots666 sem acarretar “vai 1”.
Logo
atimes b =2,a^2 =2;(10^2003-1)^29 =2;10^4006-4;10^2003+29
Passo 3
Antes de dividir por 9, considere o numerador
T=2;10^4006-4;10^2003+2
Ele tem dígito “2” em 10^4006, dígito “2” na unidade, e subtrai 4 na casa 10^2003.
Ao efetuar a subtração, emprestamos 1 da casa 10^4006, gerando:
casa 4007 (mais significativa): de 2 passa a 1,
casas 4006 até 2005: tornam-se todas 9,
casa 2004: fica 10-4=6,
casas 2003 até 2: zero,
casa 1: 2.
Passo 4
Queremos dividir T por 9 e achar o quociente Q=atimes b. No algoritmo de divisão “manual” por 9, a cada casa k do dividendo temos
novo resto rmapsto rtimes10 + ak, quocdigito qk=lfloorrtimes10+ak9rfloor,
;r atualiza para (rtimes10+ak)bmod9.
Nos interessa o dígito q2004 (2004ª casa do quociente, que coincide com o 2004º dígito de Q da direita para a esquerda).
Passo 5
Começando do topo:
em k=4007, ak=1, resto inicial r=0 dá rto1;
para k=4006 até k=2005, ak=9 e sempre rto1 após cada passo;