Use a definição para calcular o determinante da matriz.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 2 & 0 \\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\ 1 & -1 & 0 & 2 \\\ 1 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & -1 & 0 & 2\\\\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
usando a definição de determinante via expansão por co-fatores. Vamos escolher a primeira linha para expandir, pois ela tem dois zeros, o que simplifica os cálculos.

Passo 2

Ao expandir pela primeira linha, só contribuem os elementos não nulos em (1,1) e (1,3). Assim,
\det(A) = a_{11}\,C_{11} + a_{13}\,C_{13} = 1\cdot C_{11} + 2\cdot C_{13},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é o co-fator correspondente, e M_{ij} é a matriz obtida de A removendo-se a linha i e a coluna j.

Passo 3

Calculamos C_{11}. A matriz menor M_{11} é
M_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
O sinal é (-1)^{1+1}=+1, então
C_{11} = \det(M_{11}) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & 3\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 0 & 3\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Calculando cada 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & 3\end{pmatrix} = 0\cdot3 - 2\cdot0 = 0, \quad \det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 0 & 3\end{pmatrix} = -1\cdot3 - 2\cdot0 = -3, \quad \det\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix} = -1\cdot0 - 0\cdot0 = 0.
Logo,
C_{11} = 1\cdot0 \;-\;2\cdot(-3)\;+\;3\cdot0 = 6.

Passo 4

Agora C_{13}. A matriz menor M_{13} (removendo linha 1 e coluna 3) é
M_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3\\\\ 1 & -1 & 2\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
O sinal é (-1)^{1+3}=+1, então
C_{13} = \det(M_{13}).
Expandindo pela primeira linha de M_{13}:
\det(M_{13}) = 0\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 0 & 3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 3\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Os determinantes 2\times 2 são
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = 1\cdot3 - 2\cdot1 = 1, \quad \det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = 1\cdot0 - (-1)\cdot1 = 1.
Portanto,
C_{13} = 0 - 1\cdot1 + 3\cdot1 = 2.

Passo 5

Substituindo C_{11} e C_{13} em \det(A)=1\cdot C_{11} + 2\cdot C_{13}, temos
\det(A) = 1\cdot6 + 2\cdot2 = 6 + 4 = 10.

Resposta

O determinante da matriz é 10.

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