Use a definição de " f(x) é O(g(x)) " para mostrar que x^{4}+9 x^{3}+4 x+7 é O\left(x^{4}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de “ f(x) é O(g(x))”, que a função
f(x)=x^{4}+9x^{3}+4x+7
é O(x^{4}).
A definição é: existe constante C>0 e ponto k tais que, para todo x\ge k,
\bigl|f(x)\bigr|\le C\,\bigl|g(x)\bigr|.

Passo 2

Vamos estimar \bigl|f(x)\bigr| para x\ge1. Primeiro, por desigualdade triangular,
\bigl|x^{4}+9x^{3}+4x+7\bigr|\le |x^{4}|+9|x^{3}|+4|x|+7.
Como x\ge1 implica x^{3}\le x^{4}, x\le x^{4} e 1\le x^{4}, temos
|x^{4}|=x^{4},\quad9|x^{3}|\le9x^{4},\quad4|x|\le4x^{4},\quad7\le7x^{4}.
Somando essas desigualdades,
\bigl|f(x)\bigr|\le x^{4}+9x^{4}+4x^{4}+7x^{4}=21x^{4}.

Passo 3

Da estimativa \bigl|f(x)\bigr|\le21x^{4} para todo x\ge1, podemos escolher
C=21 \quad\text{e}\quad k=1,
de modo que para todo x\ge k valha \bigl|f(x)\bigr|\le C\,x^{4}. Isso é exatamente a definição de f(x)=O(x^{4}).

Resposta

x^{4}+9x^{3}+4x+7 é O(x^{4}).

Exercícios de Livros Relacionados