Use derivação implícita para calcular a derivada segunda d^{2} y / d x^{2}.
x^{2}+3 y^{2}=5

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva implícita
x^2 + 3y^2 = 5
e queremos calcular a segunda derivada \dfrac{d^2y}{dx^2} usando derivação implícita.

Passo 2

Diferenciando em relação a x a equação x^2 + 3y^2 = 5, obtemos
2x + 6y\,\frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \displaystyle \frac{dy}{dx}, vem
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{6y} = -\frac{x}{3y}.

Passo 3

Para achar a segunda derivada, derivamos \displaystyle y' = -\frac{x}{3y} em relação a x. Usando a regra do quociente ou produto, escrevemos
y' = -\frac{1}{3}\,\frac{x}{y} \quad\Longrightarrow\quad y'' = -\frac{1}{3}\,\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) = -\frac{1}{3}\,\frac{y - x\,y'}{y^2}.

Passo 4

Substituindo y' = -\tfrac{x}{3y} no numerador e usando x^2+3y^2=5 para simplificar:
y - x\,y' = y - x\Bigl(-\frac{x}{3y}\Bigr) = y + \frac{x^2}{3y} = \frac{3y^2 + x^2}{3y} = \frac{5}{3y}.
Logo,
y'' = -\frac{1}{3}\,\frac{\tfrac{5}{3y}}{y^2} = -\frac{5}{9y^3}.

Resposta

\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{5}{9\,y^3}.

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