Determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
x^{2}-y^{3}=2 x ;(1,-1)

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2}-y^{3}=2x
e pede a reta tangente no ponto (1,-1).
O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos achar \tfrac{dy}{dx} e depois usar a fórmula da reta tangente

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-y^{3}\bigr)=\frac{d}{dx}(2x).
Isso dá
2x \;-\;3y^{2}\,\frac{dy}{dx}=2.
Isolando \frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{2x-2}{3y^{2}}.

Passo 3

Avaliar em (x,y)=(1,-1):
o numerador é 2\cdot1-2=0 e o denominador é 3\cdot(-1)^{2}=3.
Logo
m=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,-1)}=\frac{0}{3}=0.

Passo 4

A reta tangente com coeficiente angular m=0 em (1,-1) vem de
y - (-1)=0\cdot(x-1)
ou seja
y+1=0
portanto
y=-1.

Resposta

A equação da reta tangente é y=-1.

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