Use derivação implícita para determinar a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
30. Use derivação implícita para determinar a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
\quad x y^{3}=8 ;(1,2)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x\,y^{3}=8
e pede a inclinação da reta tangente (isto é, y') no ponto (1,2). O conteúdo aqui é derivação implícita.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x, usando a regra do produto em x\,y^3:
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y^3\bigr)=\frac{d}{dx}(8)
1\cdot y^3 + x\cdot 3y^2\,y' = 0.

Passo 3

Isolamos y' na equação
y^3 + 3x y^2 y' = 0
3x y^2\,y' = -\,y^3
y' = -\frac{y^3}{3x y^2} = -\frac{y}{3x}.

Passo 4

Substituímos o ponto (1,2) em y' = -\frac{y}{3x}:
y'\bigl|_{(1,2)} = -\frac{2}{3\cdot1} = -\frac{2}{3}.

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto (1,2) é -\tfrac{2}{3}.

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