Use a indução matemática nos exercícios 31 a 37 para demonstrar os fatos de divisibilidade.
*35. Demonstre que
é divisível por 8 sempre que
for um número inteiro positivo e ímpar.
*35. Demonstre que
Passo 1
Vamos provar, por indução em
, que toda vez que
é ímpar e positivo podemos escrevê-lo como
e que então
é divisível por 8.
Passo 2
Base de indução
.
Se então
e
Se
que é múltiplo de 8. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo de indução.
Suponha que, para certo ,
Suponha que, para certo
seja divisível por 8. Isto é, existe inteiro
tal que
Queremos mostrar que também vale para
, ou seja, que
é múltiplo de 8. Note que
Mas
que é claramente múltiplo de 8. Pelo passo de indução, somando dois múltiplos de 8 obtemos outro múltiplo de 8, logo
é divisível por 8.
Passo 4
Concluímos que, por indução, para todo inteiro
a quantidade
é múltiplo de 8. Como todo inteiro positivo ímpar
pode ser escrito como
, fica demonstrado que sempre
é divisível por 8.
Resposta
Portanto, para todo inteiro positivo ímpar
,
é divisível por 8.