Use a indução matemática nos exercícios 31 a 37 para demonstrar os fatos de divisibilidade.
*35. Demonstre que n^{2}-1 é divisível por 8 sempre que n for um número inteiro positivo e ímpar.

Passo 1

Vamos provar, por indução em k, que toda vez que n é ímpar e positivo podemos escrevê-lo como
n = 2k+1,\quad k\ge0,
e que então
n^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1
é divisível por 8.

Passo 2

Base de indução k=0.
Se k=0 então n=2\cdot0+1=1 e
n^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0,
que é múltiplo de 8. Logo, a propriedade vale para k=0.

Passo 3

Passo de indução.
Suponha que, para certo k\ge0,
(2k+1)^2 - 1
seja divisível por 8. Isto é, existe inteiro m tal que
(2k+1)^2 - 1 = 8m.
Queremos mostrar que também vale para k+1, ou seja, que
(2(k+1)+1)^2 - 1 = (2k+3)^2 - 1
é múltiplo de 8. Note que
(2k+3)^2 - 1 = \bigl((2k+1)^2 - 1\bigr) + \bigl((2k+3)^2 - (2k+1)^2\bigr).
Mas
(2k+3)^2 - (2k+1)^2 = \bigl((2k+3)-(2k+1)\bigr)\bigl((2k+3)+(2k+1)\bigr) = 2\cdot(4k+4) = 8\,(k+1),
que é claramente múltiplo de 8. Pelo passo de indução, somando dois múltiplos de 8 obtemos outro múltiplo de 8, logo
(2k+3)^2 - 1
é divisível por 8.

Passo 4

Concluímos que, por indução, para todo inteiro k\ge0 a quantidade (2k+1)^2 - 1 é múltiplo de 8. Como todo inteiro positivo ímpar n pode ser escrito como n=2k+1, fica demonstrado que sempre n^2 - 1 é divisível por 8.

Resposta

Portanto, para todo inteiro positivo ímpar n, n^2 - 1 é divisível por 8.

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