Use a indução matemática nos exercícios 31 a 37 para demonstrar os fatos de divisibilidade.
Demonstre que 3 divide n^{3}+2 n sempre que n for um número inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que 3 divide \,n^{3}+2n para todo inteiro positivo n. O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática, que envolve dois passos: base de indução e passo indutivo.

Passo 2

(Base de indução) Verificamos o caso n=1.
1^{3}+2\cdot1 = 1 + 2 = 3,
e 3 é divisível por 3. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

(Passagem indutiva) Suponha que para certo k\ge1 tenhamos a hipótese de indução:
k^{3}+2k = 3m
para algum inteiro m. Isso significa que 3 divide k^{3}+2k.

Passo 4

(Conclusão para k+1) Vamos mostrar que então 3 divide (k+1)^{3}+2(k+1). Começamos expandindo:
(k+1)^{3}+2(k+1) = k^{3} + 3k^{2} +3k +1 +2k +2 = \bigl(k^{3}+2k\bigr) \;+\;3k^{2}+3k +3.
Pela hipótese de indução, k^{3}+2k=3m. Substituindo:
(k+1)^{3}+2(k+1) = 3m \;+\;3k^{2}+3k+3 = 3\bigl(m + k^{2}+k+1\bigr).
Isso mostra que (k+1)^{3}+2(k+1) é múltiplo de 3, completando o passo indutivo.

Resposta

Por indução matemática, concluímos que 3 divide n^{3}+2n para todo inteiro positivo n.

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