Use a indução matemática nos exercícios 31 a 37 para demonstrar os fatos de divisibilidade.
Demonstre que 3 divide
sempre que
for um número inteiro positivo.
Demonstre que 3 divide
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que 3 divide
para todo inteiro positivo
. O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática, que envolve dois passos: base de indução e passo indutivo.
Passo 2
(Base de indução) Verificamos o caso
.
e
é divisível por
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
(Passagem indutiva) Suponha que para certo
tenhamos a hipótese de indução:
para algum inteiro
. Isso significa que
divide
.
Passo 4
(Conclusão para
) Vamos mostrar que então
divide
. Começamos expandindo:
Pela hipótese de indução,
. Substituindo:
Isso mostra que
é múltiplo de
, completando o passo indutivo.
Resposta
Por indução matemática, concluímos que
divide
para todo inteiro positivo
.