Use a indução matemática nos exercícios 31 a 37 para demonstrar os fatos de divisibilidade.
Demonstre que 6 divide n^{3}-n sempre que n for um número inteiro não negativo.
Passo 1
O enunciado pede para usar indução matemática a fim de provar o seguinte fato de divisibilidade: para todo inteiro não negativo n, o número
n^{3}-n
é divisível por 6. Vamos estruturar a prova em caso base e passo indutivo, usando a definição de divisibilidade e uma propriedade simples de inteiros consecutivos.
Passo 2
Caso base n=0. Calculemos
0^{3}-0 = 0.
Como 0=6\cdot 0, temos que 6 divide 0. Logo, a propriedade vale para n=0.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum inteiro k\ge 0, já sabemos que