Use a indução matemática nos exercícios 31 a 37 para demonstrar os fatos de divisibilidade.
Demonstre que 6 divide n^{3}-n sempre que n for um número inteiro não negativo.

Passo 1

O enunciado pede para usar indução matemática a fim de provar o seguinte fato de divisibilidade: para todo inteiro não negativo n, o número
n^{3}-n
é divisível por 6. Vamos estruturar a prova em caso base e passo indutivo, usando a definição de divisibilidade e uma propriedade simples de inteiros consecutivos.

Passo 2

Caso base n=0. Calculemos
0^{3}-0 = 0.
Como 0=6\cdot 0, temos que 6 divide 0. Logo, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum inteiro k\ge 0, já sabemos que
6 \mid \bigl(k^{3}-k\bigr),
ou seja, existe inteiro m tal que
k^{3}-k = 6m.

Passo 4

Passo indutivo. Precisamos mostrar que
6 \mid \bigl((k+1)^{3} - (k+1)\bigr).
Começamos expandindo:
(k+1)^{3} - (k+1) = \bigl(k^{3} + 3k^{2} + 3k +1\bigr) - k -1 = \bigl(k^{3}-k\bigr) + 3k^{2} + 3k.
Reescrevendo a parte quadrática:
3k^{2} + 3k = 3\,k(k+1).
Então
(k+1)^{3} - (k+1) = \underbrace{\bigl(k^{3}-k\bigr)}_{\text{divisível por }6} \;+\;3\,k(k+1).í
Pela hipótese de indução, k^{3}-k é múltiplo de 6. Agora, como k e k+1 são consecutivos, um deles é par, logo
2 \mid k(k+1) \quad\Longrightarrow\quad 6 = 2\cdot 3 \mid 3\,k(k+1).
Assim, ambas as parcelas são múltiplos de 6, e a soma também é múltipla de 6. Concluímos que
6 \mid \bigl((k+1)^{3} - (k+1)\bigr).

Resposta

Portanto, por indução matemática, 6 divide n^{3}-n para todo inteiro não negativo n.

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