Use produtos escalares para mostrar que os três pontos dados são os vértices de um triângulo retângulo. Qual o vértice do ângulo reto?
P=(1,7,3), Q=(0,7,-1), R=(-1,6,2).

Passo 1

O enunciado dá três pontos em R^3:
P=(1,7,3), Q=(0,7,-1), R=(-1,6,2),
e pede para mostrar que eles são vértices de um triângulo retângulo.
Teoria chave: dados dois vetores u e v, eles são perpendiculares se, e somente se,
ucdotv=0

Passo 2

Vamos testar primeiro se o ângulo em P é reto. Para isso calculamos os vetores que saem de P:
PQ=Q-P=(0-1,;7-7,;-1-3)=(-1,0,-4),
PR=R-P=(-1-1,;6-7,;2-3)=(-2,-1,-1)

Passo 3

Verificamos o produto escalar
PQcdotPR =(-1)(-2)+0cdot(-1)+(-4)(-1) =2+0+4 =6neq0
Como não é zero, o ângulo em P não é reto.

Passo 4

Agora testamos o ângulo em Q. Calculamos
QP=P-Q=(1-0,;7-7,;3-(-1))=(1,0,4),
QR=R-Q=(-1-0,;6-7,;2-(-1))=(-1,-1,3)
O produto escalar é
QPcdotQR =1cdot(-1)+0cdot(-1)+4cdot3 =-1+0+12 =11neq0
Logo o ângulo em Q também não é reto.

Passo 5

Por fim, testamos o ângulo em R. Calculamos
RP=P-R=(1-(-1),;7-6,;3-2)=(2,1,1),
RQ=Q-R=(0-(-1),;7-6,;-1-2)=(1,1,-3)
O produto escalar é
RPcdotRQ =2cdot1+1cdot1+1cdot(-3) =2+1-3 =0
Como dá zero, os vetores RP e RQ são perpendiculares, mostrando que o ângulo em R é reto.

Resposta

Os pontos P, Q e R formam um triângulo retângulo, e o vértice do ângulo reto é R.

Exercícios de Livros Relacionados