Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx para a função dada e o valor especificado de x.
y=3 u^{4}-4 u+5 ; u=x^{3}-2 x-5 para x=2

Passo 1

A gente tem uma função composta:
y = 3\,u^{4} - 4\,u + 5 com u = x^{3} - 2\,x - 5.
O conteúdo é Regra da Cadeia: \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\,\dfrac{du}{dx}.

Passo 2

Primeiro derivamos cada parte em função da sua variável:
\frac{dy}{du} = 12\,u^{3} - 4,
\frac{du}{dx} = 3\,x^{2} - 2.

Passo 3

Agora encontramos o valor de u quando x=2:
u(2) = 2^{3} - 2\cdot2 - 5 = 8 - 4 - 5 = -1.

Passo 4

Substituímos u=-1 em \frac{dy}{du} e x=2 em \frac{du}{dx}:
\frac{dy}{du}\Big|_{u=-1} = 12\cdot(-1)^{3} - 4 = -12 - 4 = -16,
\frac{du}{dx}\Big|_{x=2} = 3\cdot2^{2} - 2 = 12 - 2 = 10.

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}
logo, em x=2,
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=2} = (-16)\cdot 10 = -160.

Resposta

O valor de \dfrac{dy}{dx} em x=2 é -160.

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