Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx para a função dada e o valor especificado de x.
y=\sqrt{u} ; u=x^{2}-2 x+6 para x=3

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sqrt{u} com u=x^{2}-2x+6 e pede \frac{dy}{dx} em x=3. O conteúdo necessário é a regra da cadeia, que diz
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais:
\displaystyle y=\sqrt{u}=u^{\tfrac12} implica
\frac{dy}{du}=\frac12\,u^{-\tfrac12}=\frac{1}{2\sqrt{u}},
e
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-2x+6\bigr)=2x-2.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} =\frac{1}{2\sqrt{u}}\,(2x-2) =\frac{2x-2}{2\sqrt{u}}.

Passo 4

Em x=3 temos
u(3)=3^{2}-2\cdot3+6=9-6+6=9, \quad \sqrt{u(3)}=3, \quad 2x-2\bigl|_{x=3}=6-2=4.
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\frac{dy}{dx}\Big|_{x=3} =\frac{4}{2\cdot3} =\frac{4}{6} =\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}\Big|_{x=3}=\frac{2}{3}.

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