Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx para a função dada e o valor especificado de x.
y=u^{5}-3 u^{2}+6 u-5 ; u=x^{2}-1 para x=1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y em relação a x usando a regra da cadeia, onde
y = u^{5} - 3u^{2} + 6u - 5
e
u = x^{2} - 1.
O que precisamos é calcular \frac{dy}{du}, \frac{du}{dx} e depois usar
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}. Por fim, avaliaremos em x=1.

Passo 2

Calculando a derivada de y em relação a u:
\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}\bigl(u^{5} - 3u^{2} + 6u - 5\bigr) = 5u^{4} - 6u + 6.

Passo 3

Calculando a derivada de u em relação a x:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-1\bigr) = 2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\cdot\,\frac{du}{dx} = \bigl(5u^{4} - 6u + 6\bigr)\,\cdot\,2x.

Passo 5

Para x=1, primeiro calculamos u(1):
u(1) = 1^{2} - 1 = 0.

Passo 6

Substituindo u=0 e x=1 na expressão de \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\Bigl|_{x=1} = \bigl(5\cdot 0^{4} - 6\cdot 0 + 6\bigr)\cdot 2\cdot 1 = 6 \cdot 2 = 12.

Resposta

12

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