Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx da função dada e simplifique a resposta.
y=\frac{1}{u-1} ; u=x^{2}

Passo 1

O enunciado define uma função composta em que \r
y = \dfrac{1}{u-1} e u = x^2. \r
Pede-se a derivada \dfrac{dy}{dx} usando a regra da cadeia, isto é, calcularemos \dfrac{dy}{du}, depois \dfrac{du}{dx} e então aplicaremos \r
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Para obter \displaystyle \frac{dy}{du}, escrevemos \r
y = (u-1)^{-1}. Logo, usando a regra do poder:\r
\frac{dy}{du} = -1\,(u-1)^{-2} = -\frac{1}{(u-1)^2}.

Passo 3

Para obter \displaystyle \frac{du}{dx}, derivamos u = x^2 em relação a x:\r
\frac{du}{dx} = 2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia e substituindo u = x^2, temos\r
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = \Bigl(-\frac{1}{(u-1)^2}\Bigr)\,(2x) = -\frac{2x}{(u-1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2-1)^2}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2-1)^2}.

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