Use a regra da cadeia para determinar d y / d x.
23. Use a regra da cadeia para determinar d y / d x.
y=\frac{1}{\sqrt{u}} ; u=2 x+1

Passo 1

O enunciado dá a função
y = \frac{1}{\sqrt{u}},\quad u = 2x + 1
e pede dy/dx. Vamos aplicar a regra da cadeia, que diz
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{dy}{du}. Escrevendo y = u^{-\tfrac12}, temos
\frac{dy}{du} = -\frac12\,u^{-\frac32}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{du}{dx}. Como u = 2x + 1, segue
\frac{du}{dx} = 2.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = \Bigl(-\tfrac12\,u^{-\tfrac32}\Bigr)\cdot 2 = -\,u^{-\tfrac32}.
Substituindo u = 2x+1, obtemos
\frac{dy}{dx} = -\,(2x+1)^{-\frac32}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(2x+1)^{3/2}}.

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