Use a regra da cadeia para determinar d y / d x para o valor dado de x.
24. Use a regra da cadeia para determinar d y / d x para o valor dado de x.
y=u-u^{2} ; u=x-3; para x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função intermediária u e a função composta y:
u = x - 3,
y = u - u^{2}.
O conteúdo aqui é regra da cadeia, que serve para derivar uma função composta. Vamos usar que
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Calculamos primeiro \displaystyle \frac{dy}{du}. Como y = u - u^{2}, temos
\frac{dy}{du} = 1 - 2u.

Passo 3

Em seguida, derivamos u em relação a x. Como u = x - 3, dá
\frac{du}{dx} = 1.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \bigl(1 - 2u\bigr)\cdot 1 = 1 - 2u.

Passo 4

Substituímos u = x - 3 na expressão de \displaystyle \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = 1 - 2\,(x - 3) = 1 - 2x + 6 = 7 - 2x.
Agora avaliamos em x = 0:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = 7 - 2\cdot 0 = 7.

Resposta

\frac{dy}{dx}\Bigl|_{x=0} = 7.

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