Use sistemas de restos convenientes para provar que:
Se a é quadrado perfeito e também cubo perfeito , , então ou .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se é simultaneamente quadrado perfeito () e cubo perfeito (),
então só pode assumir os resíduos
O conteúdo principal é teoria de congruências e o Teorema Chinês dos Restos. Para resolver, veremos que é na verdade uma sexta potência inteira e, em seguida, estudaremos seus resíduos módulo e módulo .
Passo 2
Como e , na fatoração prima de cada expoente é múltiplo de e de . Logo
e podemos escrever . Assim
com . Portanto .
Passo 3
Analisemos . Como todo inteiro é congruente a ou módulo , temos:
Se , então .
Se , então .
Se , então .
Se , então .
Logo
Passo 4
Agora . Pelo Teorema de Euler, se então . Se , então e em todos esses casos . Concluímos
Passo 5
Usamos agora o Teorema Chinês dos Restos para combinar as duas informações:
Há quatro casos possíveis:
n^6equiv0pmod4 e n^6equiv0pmod9;Longrightarrow;n^6equiv0pmod36
n^6equiv0pmod4 e n^6equiv1pmod9.
Procuramos xequiv0pmod4, xequiv1pmod9. Escreva x=4k; então 4kequiv1pmod9 dá kequiv7pmod9 e x=4cdot7=28pmod36.
n^6equiv1pmod4 e n^6equiv0pmod9.
Aqui xequiv1pmod4, xequiv0pmod9. Escrita x=9m leva a 9mequiv1pmod4, isto é mequiv1pmod4, logo x=9pmod36.
n^6equiv1pmod4 e n^6equiv1pmod9;Longrightarrow;n^6equiv1pmod36
Assim os únicos resíduos possíveis para a=n^6 módulo 36 são
0,;28,;9,;1
Resposta
Portanto
aequiv 0,;1,;9;ou;28pmod36
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 280.e