Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
l -x-y+z=0 2 x+y+z=1 5 x+4 y-2 z=1

Passo 1

O enunciado pede para, usando o teorema de Rouché-Capelli, classificar a existência de soluções e, se houver, encontrar todas as soluções do sistema
-x - y + z = 0, 2x + y + z = 1, 5x + 4y - 2z = 1
O conteúdo é teoria de sistemas lineares, teste de consistência (ranks) e resolução por eliminação.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada [Amid b]:
A= -1 & -1 & 1 2 & 1 & 1 5 & 4 & -2 , [Amid b]= -1 & -1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 1 5 & 4 & -2 & 1

Passo 3

Da primeira equação segue
z = x + y
Substituindo em 2x + y + z = 1 obtemos
2x + y + (x + y) = 1 Longrightarrow 3x + 2y = 1
Fazendo o mesmo na terceira equação
5x + 4y - 2(x + y) = 1 Longrightarrow 3x + 2y = 1,
vemos que ela não traz informação nova. Logo há apenas duas equações independentes.

Passo 4

Como existem duas equações independentes para três incógnitas,
rk(A)=2 e rk([Amid b])=2, ambas menores que o número de incógnitas 3.
Pelo teorema de Rouché-Capelli, o sistema é compatível indeterminado, isto é, possui infinitas soluções.

Passo 5

Para descrever o conjunto-solução, tomemos parâmetro
y = t, tinR
Da equação 3x+2y=1 segue
x = 1 - 2t3,
e então
z = x + y = 1 - 2t3 + t = 1 + t3

Resposta

O sistema é indeterminado, com infinitas soluções dadas por
l(x,y,zr) =l(tfrac1-2t3,,t,,tfrac1+t3r), tinR

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