Discuta, segundo os valores do parâmetro a, os seguintes sistemas:
\left{ lx+a(y+z)=1 y+a(x+z)=a z+a(x+y)=a^2\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em função do parâmetro
e pede que a gente discuta quantas soluções há conforme (solução única) e (verificar consistência).

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A= 1 & a & a a & 1 & a a & a & 1
Calculamos
det(A) =;2a^3-3a^2+1 =;(a-1)^2(2a+1)
Logo
det(A)neq0Long<=ftrightarrow aneq1e aneq-tfrac12

Passo 3

Caso aneq1 e aneq-tfrac12, o sistema tem solução única. Para encontrá-la, some as três equações para obter
(1+2a)(x+y+z)=1+a+a^2,
logo
s=x+y+z=1+a+a^21+2a
Em seguida, de x+a(s-x)=1 segue
x=(1+a)^21+2a,
de y+a(s-y)=a segue
y=a^21+2a,
e de z+a(s-z)=a^2 segue
z=-a(1+a)1+2a

Passo 4

Caso a=1, tem-se det(A)=0 e cada equação se reduz a
x+y+z=1
Isto gera infinitas soluções, todas as tuplas (x,y,z) tais que x+y+z=1.

Passo 5

Caso a=-tfrac12, também det(A)=0. Se multiplicarmos cada equação por 2 e somarmos, chega-se a
0=2-1+tfrac12=tfrac32,
o que é impossível. Logo não há solução (sistema incompatível).

Resposta

Para aneq1 e aneq-tfrac12 há solução única
l(x,y,zr) =l(tfrac(1+a)^21+2a,;tfraca^21+2a,;-,tfraca(1+a)1+2ar)
Para a=1 existem infinitas soluções dadas por x+y+z=1.
Para a=-tfrac12 o sistema é incompatível (sem solução).

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