Valores de Funções Especiais. Encontre os valores de
\operatorname{sen}(3+4 \pi i)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \sin(3+4\pi i). Aqui usamos o conceito de extensão da função seno ao plano complexo, cuja definição fundamental é
\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}.
Para um número complexo escrito na forma z = x + i y (com x,y\in\mathbb{R}), existe a fórmula
\sin(x + i y) = \sin x \,\operatorname{cosh} y \;+\; i\,\cos x \,\operatorname{sinh} y,
que vamos derivar e depois aplicar ao nosso caso.

Passo 2

Começamos da definição
\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i},
e tomamos z = x + i y. Então
e^{i(x+iy)} = e^{ix - y} = e^{-y}\bigl(\cos x + i\sin x\bigr), \qquad e^{-i(x+iy)} = e^{-ix + y} = e^{y}\bigl(\cos x - i\sin x\bigr).
Subtraindo e dividindo por 2i vem
\sin(x+iy) = \frac{e^{-y}(\cos x + i\sin x)\;-\;e^{y}(\cos x - i\sin x)}{2i} = \sin x\;\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\;+\;i\,\cos x\;\frac{e^{y}-e^{-y}}{2},
isto é
\sin(x + i y) = \sin x\,\operatorname{cosh} y \;+\; i\,\cos x\,\operatorname{sinh} y.

Passo 3

Agora basta aplicar x=3 e y=4\pi na fórmula:
\sin(3+4\pi i) = \sin 3\;\operatorname{cosh}(4\pi)\;+\;i\,\cos 3\;\operatorname{sinh}(4\pi).

Resposta

\sin(3+4\pi i) = \sin 3\,\operatorname{cosh}(4\pi)\;+\;i\,\cos 3\,\operatorname{sinh}(4\pi).

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