5.2.8 Para quais valores de p e q a seguinte série convergirá? \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p}(\ln n)^{q}}.
Resposta: Convergente: para \left\{\begin{array}{ll}p>1, & \text { todo } q, \\\ p=1, & q>1,\end{array} \quad\left\{\right.\right. divergente para \begin{array}{ll}p<1, & \text { todo } q, \\\ p=1, & q \leq 1 .\end{array}

Passo 1

O enunciado pede determinar para quais valores de p e q a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{p}(\ln n)^{q}}
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da integral imprópria para séries de termos não negativos.

Passo 2

Seja f(x)=\frac{1}{x^{p}(\ln x)^{q}} para x\ge2. Como f é positiva e decrescente, podemos aplicar o teste da integral: a série converge se e somente se
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}(\ln x)^{q}}
converge. Faça a substituição t=\ln x, x=e^{t}, dx=e^{t}dt. Então
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}(\ln x)^{q}} =\int_{\ln2}^{\infty}\frac{e^{t}}{(e^{t})^{p}\,t^{q}}\,dt =\int_{\ln2}^{\infty}\frac{e^{(1-p)t}}{t^{q}}\,dt.
Para p\neq1, o comportamento em t\to\infty é dominado por e^{(1-p)t}:
  • Se p>1 então 1-p<0 e o expo-nen-cial decai rápido, fazendo a integral (e portanto a série) convergir para todo q.
  • Se p<1 então 1-p>0 e o expo-nen-cial cresce, fazendo a integral (e portanto a série) divergir para todo q.

Passo 3

No caso crítico p=1, a integral vira
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{q}} =\int_{\ln2}^{\infty}\frac{dt}{t^{q}}.
Essa integral converge se e somente se q>1 (é a integral imprópria de t^{-q} em [\ln2,\infty)). Se q\le1, ela diverge, e a série também.

Passo 4

Juntando ambos os casos: para p>1 a série converge para qualquer q, para p<1 ela diverge para qualquer q, e no caso p=1 ela converge apenas se q>1 e diverge se q\le1.

Resposta

Convergente para \{\,p>1,\text{ qualquer }q\} ou para \{\,p=1,\;q>1\}.
Divergente para \{\,p<1,\text{ qualquer }q\} ou para \{\,p=1,\;q\le1\}.

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