5.2.8 Para quais valores de
e
a seguinte série convergirá?
.
Resposta: Convergente: para
divergente para
Passo 1
O enunciado pede determinar para quais valores de
e
a série
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da integral imprópria para séries de termos não negativos.
Passo 2
Seja
para
. Como
é positiva e decrescente, podemos aplicar o teste da integral: a série converge se e somente se
converge. Faça a substituição
,
,
. Então
Para
, o comportamento em
é dominado por
:
- Se
então e o expo-nen-cial decai rápido, fazendo a integral (e portanto a série) convergir para todo . - Se
então e o expo-nen-cial cresce, fazendo a integral (e portanto a série) divergir para todo .
Passo 3
No caso crítico
, a integral vira
Essa integral converge se e somente se
(é a integral imprópria de
em
). Se
, ela diverge, e a série também.
Passo 4
Juntando ambos os casos: para
a série converge para qualquer
, para
ela diverge para qualquer
, e no caso
ela converge apenas se
e diverge se
.
Resposta
Convergente para
ou para
.
Divergente para ou para
.
Divergente para