Teste para convergência
\sum_{n=2}^{\infty}(\ln n)^{-1}
5.2.6

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}.
O conteúdo é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o Teste da Integral, que compara
\sum_{n=2}^{\infty} a_n \quad\text{com}\quad \int_{2}^{\infty} f(x)\,dx
quando a_n=f(n), com f contínua, positiva e decrescente para x\ge2.

Passo 2

Verificamos que
f(x)=\frac{1}{\ln x}
é contínua e positiva em [2,\infty). Além disso, sua derivada
f'(x) =-\frac{1}{x(\ln x)^2}
é negativa para x>2, logo f é decrescente nesse intervalo. Assim, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Consideramos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\ln x}\,dx.
Fazemos a substituição
t = \ln x, \quad dt = \frac{1}{x}\,dx, \quad dx = e^t\,dt,
e os limites transformam-se em t=\ln2 até t\to\infty. Logo,

Passo 4

\int_{2}^{\infty}\frac{1}{\ln x}\,dx = \int_{\ln2}^{\infty}\frac{e^t}{t}\,dt.
Como e^t\ge1 para t\ge\ln2, temos
\frac{e^t}{t}\ge\frac{1}{t},
então
\int_{\ln2}^{\infty}\frac{e^t}{t}\,dt \ge \int_{\ln2}^{\infty}\frac{1}{t}\,dt = \bigl[\ln t\bigr]_{\ln2}^{\infty} = \lim_{T\to\infty}\ln(T)-\ln(\ln2) = \infty.
Portanto a integral diverge.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, como
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{\ln x}\,dx = \infty,
a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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