Mostre que o teste de Raabe é inconclusivo para P=1, estabelecendo que P=1 para as séries
u_{n}=\frac{1}{n \ln n} e que esta série diverge.
5.2.4

Passo 1

O enunciado quer aplicar o teste de Raabe à série \sum u_n com
u_n = \frac{1}{n\ln n}
e mostrar que o parâmetro
P = \lim_{n\to\infty} n\Bigl(\frac{u_n}{u_{n+1}} - 1\Bigr)
vale 1, de modo que o teste fica inconclusivo. Em seguida, precisamos provar separadamente que \sum_{n\ge2}1/(n\ln n) diverge.

Passo 2

Calculamos primeiro a razão
\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{\tfrac{1}{n\ln n}}{\tfrac{1}{(n+1)\ln(n+1)}} = \frac{(n+1)\,\ln(n+1)}{n\,\ln n}.
Logo
\frac{u_n}{u_{n+1}} - 1 = \frac{(n+1)\ln(n+1) - n\ln n}{n\ln n}.
Multiplicando por n, obtemos
n\Bigl(\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\Bigr) = \frac{(n+1)\ln(n+1) - n\ln n}{\ln n}.

Passo 3

Para achar o limite, note que
(n+1)\ln(n+1) = (n+1)\bigl(\ln n + \ln(1+\tfrac1n)\bigr) = n\ln n + \ln n + (n+1)\Bigl(\tfrac1n - \tfrac1{2n^2} + O(n^{-3})\Bigr).
Logo o numerador fica
(n+1)\ln(n+1) - n\ln n = \ln n + 1 + O\bigl(n^{-1}\bigr).
Dividindo por \ln n e fazendo n\to\infty, temos
P=\lim_{n\to\infty}n\Bigl(\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\Bigr) =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n + 1 + o(1)}{\ln n} =1.
Portanto o teste de Raabe é inconclusivo quando P=1.

Passo 4

Para mostrar que \sum_{n\ge2}\frac{1}{n\ln n} diverge, aplicamos o teste da integral. Considere
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}.
Fazendo t=\ln x, dt=dx/x, obtemos
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x} =\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{dt}{t} =\Bigl[\ln t\Bigr]_{\ln2}^{\infty} =+\infty.
Como a integral diverge, a série \sum_{n\ge2}1/(n\ln n) também diverge.

Resposta

O parâmetro de Raabe fica P=1, logo o teste é inconclusivo, e de fato
\sum_{n\ge2}\frac{1}{n\ln n} diverge.

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