Mostre que o teste de Raabe é inconclusivo para
, estabelecendo que
para as séries
e que esta série diverge.
5.2.4
Passo 1
O enunciado quer aplicar o teste de Raabe à série
com
e mostrar que o parâmetro
vale
, de modo que o teste fica inconclusivo. Em seguida, precisamos provar separadamente que
diverge.
Passo 2
Calculamos primeiro a razão
Logo
Multiplicando por
, obtemos
Passo 3
Para achar o limite, note que
Logo o numerador fica
Dividindo por
e fazendo
, temos
Portanto o teste de Raabe é inconclusivo quando
.
Passo 4
Para mostrar que
diverge, aplicamos o teste da integral. Considere
Fazendo
,
, obtemos
Como a integral diverge, a série
também diverge.
Resposta
O parâmetro de Raabe fica
, logo o teste é inconclusivo, e de fato
diverge.