5.2.16 Uma solução de série (Seção 9.5) da equação de Chebyshev leva a termos sucessivos que têm a razão
\frac{u_{j+2}(x)}{u_{j}(x)}=\frac{(k+j)^{2}-n^{2}}{(k+j+1)(k+j+2)} x^{2},
\operatorname{com} k=0 e k=1. Teste para convergência em x= \pm 1.

Resposta: Convergente.

Passo 1

O enunciado dá uma solução em série para a equação de Chebyshev cujos termos u_j(x) satisfazem, para cada k=0 ou k=1,
\frac{u_{j+2}(x)}{u_j(x)} =\frac{(k+j)^{2}-n^{2}}{(k+j+1)(k+j+2)}\,x^{2}.
Precisamos testar a convergência dessa série em x=\pm1. Vamos usar a versão de Raabe do teste da razão, aplicando-o separadamente às sub-séries de termos pares e ímpares.

Passo 2

Em x=\pm1 temos
\left|\frac{u_{j+2}}{u_j}\right| =\frac{(j+k)^{2}-n^{2}}{(j+k+1)(j+k+2)}.
Para grandes j, expanda em potências de 1/j:
(j+k)^{2}-n^{2} =j^{2}+2kj+(k^{2}-n^{2}),\quad (j+k+1)(j+k+2) =j^{2}+(2k+3)j+O(1),
logo
\left|\frac{u_{j+2}}{u_j}\right| =1-\frac{3}{j}+O\!\bigl(j^{-2}\bigr).

Passo 3

Defina a sub-série dos termos pares v_m = u_{2m}. Então
\frac{v_{m+1}}{v_m} =\frac{u_{2m+2}}{u_{2m}} =1-\frac{3}{2m}+O\!\bigl(m^{-2}\bigr).
A versão de Raabe diz que, se
m\Bigl(1-\frac{v_{m+1}}{v_m}\Bigr)\to L>1,
então \sum v_m converge. Aqui
m\Bigl(1-\frac{v_{m+1}}{v_m}\Bigr) \to \frac{3}{2}>1,
logo a sub-série dos termos pares converge. De modo idêntico para a sub-série dos termos ímpares w_m=u_{2m+1}, pois seu quociente assintótico é o mesmo.

Passo 4

Como tanto a soma dos termos pares ( \sum v_m) quanto a dos termos ímpares ( \sum w_m) convergem, a série completa \sum_{j=0}^{\infty}u_j(\pm1) converge.

Resposta

Convergente.

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