nas quais o índice j é par e l é alguma constante (porém, neste problema, não um inteiro ímpar não-negativo). Ache a faixa de valores de x para a qual essa série de Legendre é convergente. Teste as extremidades.
Resposta: -1<x<1.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de Legendre \r
\sum_{j\text{ par}}u_j(x) \r
cujos termos satisfazem a relação de recorrência \r
Pelo teste da razão, a série converge se e somente se
|x|^2<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Passo 4
Agora testamos as extremidades x=\pm1. Nesse caso o fator de recorrência tende a 1, de modo que \bigl|u_{2n+2}(1)/u_{2n}(1)\bigr|\to1
e os termos u_{2n}(1) não vão a zero, impedindo a convergência da série. O mesmo vale para x=-1. Assim, nos pontos x=\pm1 a série diverge.
Resposta
A série de Legendre converge apenas para
-1<x<1.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 5.2 - Ex. 5.2.15