5.2.15 A série de Legendre \sum_{j \text { par }} u_{j}(x) satisfaz as relações de recorrência
u_{j+2}(x)=\frac{(j+1)(j+2)-l(l+1)}{(j+2)(j+3)} x^{2} u_{j}(x)
nas quais o índice j é par e l é alguma constante (porém, neste problema, não um inteiro ímpar não-negativo). Ache a faixa de valores de x para a qual essa série de Legendre é convergente. Teste as extremidades.
Resposta: -1<x<1.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de Legendre \r
\sum_{j\text{ par}}u_j(x) \r
cujos termos satisfazem a relação de recorrência \r
\;u_{j+2}(x)=\frac{(j+1)(j+2)-l(l+1)}{(j+2)(j+3)}\,x^2\,u_j(x), \r
em que j é par e l é constante. Queremos determinar para quais x essa série converge, usando principalmente o teste da razão.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, introduzimos j=2n. Então os termos pares são u_{2n}(x) e a recorrência fica
u_{2n+2}(x) =\frac{(2n+1)(2n+2)-l(l+1)}{(2n+2)(2n+3)}\,x^2\,u_{2n}(x).

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{2n+2}(x)}{u_{2n}(x)}\right| =\lim_{n\to\infty} \left|\frac{(2n+1)(2n+2)-l(l+1)}{(2n+2)(2n+3)}\right|\;|x|^2.
Para n grande, o quociente tende a 1, pois
\frac{(2n+1)(2n+2)-l(l+1)}{(2n+2)(2n+3)} \;\longrightarrow\;1.
Logo
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{2n+2}(x)}{u_{2n}(x)}\right| =|x|^2.
Pelo teste da razão, a série converge se e somente se
|x|^2<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.

Passo 4

Agora testamos as extremidades x=\pm1. Nesse caso o fator de recorrência tende a 1, de modo que
\bigl|u_{2n+2}(1)/u_{2n}(1)\bigr|\to1
e os termos u_{2n}(1) não vão a zero, impedindo a convergência da série. O mesmo vale para x=-1. Assim, nos pontos x=\pm1 a série diverge.

Resposta

A série de Legendre converge apenas para
-1<x<1.

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