Para que valores de o sistema tem solução própria?
Qual o grau de indeterminação?
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema homogêneo em
com parâmetro há solução própria (não trivial), o que ocorre exatamente quando o determinante da matriz de coeficientes é zero. Depois, usaremos o conceito de posto da matriz para achar o grau de indeterminação (o número de variáveis livres).
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & m & 2 -2 & m & -4 1 & -3 & -m
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
Para haver solução não trivial, precisa de det(A)=0. Logo
-3m(m+2)=0 Longrightarrow m=0;ou;m=-2
Passo 4
Em cada caso avaliamos o posto de A:
Para m=0, a segunda linha é -2 vezes a primeira e a terceira é distinta, logo posto(A)=2.
Para m=-2, uma redução por eliminação também mostra que há duas linhas independentes e uma dependente, de modo que posto(A)=2.
Como o número de incógnitas é 3, o número de variáveis livres (grau de indeterminação) é
3 - posto(A) = 3 - 2 = 1
Resposta
Os valores de m que dão solução própria são m=0 e m=-2.
O grau de indeterminação (número de variáveis livres) é 1.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 421