Para que valores de m o sistema tem solução própria?
r x+m y+2 z=0 -2 x+m y-4 z=0 x-3 y-m z=0
Qual o grau de indeterminação?

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo em
com parâmetro há solução própria (não trivial), o que ocorre exatamente quando o determinante da matriz de coeficientes é zero. Depois, usaremos o conceito de posto da matriz para achar o grau de indeterminação (o número de variáveis livres).

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & m & 2 -2 & m & -4 1 & -3 & -m
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdot(-m^2-12);-;mcdot(2m+4);+;2cdot(6-m)
Simplificando em duas etapas, obtemos
det(A) = -m^2 -12 ;-;2m^2 -4m ;+;12 -2m = -3m^2 -6m = -3m(m+2)

Passo 3

Para haver solução não trivial, precisa de det(A)=0. Logo
-3m(m+2)=0 Longrightarrow m=0;ou;m=-2

Passo 4

Em cada caso avaliamos o posto de A:
Para m=0, a segunda linha é -2 vezes a primeira e a terceira é distinta, logo posto(A)=2.
Para m=-2, uma redução por eliminação também mostra que há duas linhas independentes e uma dependente, de modo que posto(A)=2.
Como o número de incógnitas é 3, o número de variáveis livres (grau de indeterminação) é
3 - posto(A) = 3 - 2 = 1

Resposta

Os valores de m que dão solução própria são m=0 e m=-2.
O grau de indeterminação (número de variáveis livres) é 1.

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