É verdade que
é
, se
é a função dada? [Por exemplo, se
, esta questão pergunta se
é
.]
Passo 1
O enunciado pergunta se
é da ordem de grandeza de
, ou seja, se existe uma constante
e um ponto
tais que, para todo
,
O conteúdo aqui é a notação assintótica
e a comparação entre funções polinomiais e exponenciais.
Passo 2
Lembrando a definição de notação
: dizemos que
se existem constantes
e
tais que, para todo
, vale
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para ver que
cresce mais rápido que
, basta verificar alguns valores iniciais e usar que a função exponencial domina o polinômio:
Para :
Para
para
:
para
:
A partir de
, a diferença só aumenta porque o quociente
é maior que 1 para todo
. Logo, para
fica garantido que
.
Passo 4
Da verificação acima concluímos que, escolhendo
temos, para todo
,
Isso mostra exatamente que
Resposta
Sim. De fato,
é
, por exemplo com
e
.