É verdade que x^{3} é O(g(x)), se g é a função dada? [Por exemplo, se g(x)=x+1, esta questão pergunta se x^{3} é O(x+1)).]
g(x)=3^{x}

Passo 1

O enunciado pergunta se \,x^{3}\, é da ordem de grandeza de \,g(x)=3^{x}, ou seja, se existe uma constante C>0 e um ponto x_{0} tais que, para todo x\ge x_{0},
x^{3}\le C\,3^{x}.
O conteúdo aqui é a notação assintótica O(\cdot) e a comparação entre funções polinomiais e exponenciais.

Passo 2

Lembrando a definição de notação O: dizemos que
f(x)=O(g(x))
se existem constantes C>0 e x_{0} tais que, para todo x\ge x_{0}, vale
|f(x)|\le C\,|g(x)|.
No nosso caso, f(x)=x^{3} e g(x)=3^{x}.

Passo 3

Para ver que 3^{x} cresce mais rápido que x^{3}, basta verificar alguns valores iniciais e usar que a função exponencial domina o polinômio:
Para x=1:
1^{3}=1\le 3^{1}=3,
para x=2:
2^{3}=8\le 3^{2}=9,
para x=3:
3^{3}=27\le 3^{3}=27.
A partir de x=1, a diferença só aumenta porque o quociente
\frac{3^{x+1}}{(x+1)^{3}}\Big/\frac{3^{x}}{x^{3}} =\frac{3\,x^{3}}{(x+1)^{3}}
é maior que 1 para todo x\ge1. Logo, para x\ge1 fica garantido que 3^{x}\ge x^{3}.

Passo 4

Da verificação acima concluímos que, escolhendo
C=1 \quad\text{e}\quad x_{0}=1,
temos, para todo x\ge x_{0},
x^{3}\le 1\cdot 3^{x}.
Isso mostra exatamente que
x^{3}=O\bigl(3^{x}\bigr).

Resposta

Sim. De fato, x^{3} é O\bigl(3^{x}\bigr), por exemplo com C=1 e x_{0}=1.

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